Talnasöfn og tölfræði

Hugsum okkur að við veljum eitt stak x úr þýði. Vongildi staksins er meðaltal þýðisins,

Von(x) = μ

En hvaða líkur eru til þess að x hitti á meðaltalið μ? Látum staðalfrávik þýðisins vera σ og segjum sem svo að 68% af stökunum í þýðinu liggi á bilinu [μ−σ, μ+σ]. Þá eru 68% líkur á því að fjarlægð x frá μ sé minni en σ. Þessi staðhæfing ætti að verða ljós við nokkra umhugsun.

Hvað gerist ef við tökum úrtak úr þýðinu með fleiri en einu staki? Hversu nálægt μ er líklegt að meðaltal úrtaksins lendi? Sum stökin í úrtakinu eru væntanlega stærri en μ en önnur minni. Þau vega þá hvort annað upp og meðaltalið er líklegri til að vera nálægt μ en einstakar tölur í úrtakinu. Við sjáum líka að ef úrtakið er svo stórt að öll stök þýðisins eru í því þá verður meðaltal úrtaksins óhjákvæmilega það sama og meðaltal þýðisins. Við getum sett fram reglu:

Því stærra sem úrtak er, því minni líkur er á að meðaltal þess víki langt frá σ.

Stærðfræðilega séð lítur reglan svona út:

Fyrir dæmið hér efst á síðunni þýðir þetta, að ef t.d. úrtak með 4 stökum er valið úr þýðinu þá eru 68% líkur á því að fjarlægð

frá μ sé minni en σ/2. Með öðrum orðum sagt batnar ágiskun okkar um σ í réttu hlutfalli við kvaðratrót af fjölda staka í úrtakinu.