Talnamengi
Pólhnit
Regla Eulers
  Hvað er tala? Flestir mundu sjálfsagt nefna þau hugtök sem við þekkjum úr daglegu lífi og tengjast talningu: "Tvær hænur, hálft epli." Með öðrum orðum, pósitífar heilar tölur og brot.

Miklar framfarir urðu í stærðfræði þegar hugtökin núll og negatífar tölur festust í sessi. Þessi hugtök voru upphaflega innleidd af illri nauðsyn til þess að unnt væri að framkvæma stærðfræðilega útreikninga, en nú mynda tölurnar eðlilega heild og við sjáum pósitífar og negatífar tölur fyrir okkur sem staði á talnalínu sem teygir sig óendanlega í báðar áttir frá núlli.

Reikningum með negatífar tölur fylgja þó ýmis vandamál, sérstaklega í veldareikningi. Eitt vandamál er kvaðratrót af negatífum tölum. Í mörgum stærðfræðilegum vandamálum er ljóst að slík rót þarf að vera til og að reikningar með hana geta lotið sömu reglum og venjulegur bókstafareikningur. Það er sömuleiðis ljóst að þessa rót er hvergi að finna á venjulegri talnalínu. Hvaða stærð er þetta?

Svarið fæst með því að útvíkka talnahugmyndina og láta allar tölur tilheyri talnafleti í stað talnalínu. Gamla góða talnalínan er annar ásinn í þessum fleti, rauntöluásinn. Tölurnar á hinum ásnum er kallað þvertölur og eru venjulega sýndar sem margfeldi við i (en stundum j). Um þetta i er það helst að segja að i² = –1.

Allar tölur eru þá í reynd talna-par eða tvinntölur. "Venjulegu" tölurnar okkar af talnalínunni eru einfaldlega tvinntölur með þverhluta sem er núll. Án þessarar skilgreiningar á tölum væru fjöldamörg hversdagsleg vandamál í vísindum og tækni algjörlega óleysanleg, en með tvinntölureikningum eru rafeindatæki hönnuð og geimförum stýrt til tunglsins.