| |
|
|
Í stærðfræðigreiningu eru diffurjöfnur leystar í þremur skrefum:
- Vandamál er tjáð með stærðfræðiformúlu, t.d. y' – y/x = x
- Fundin er lausnarformúla, y = x · (k + x). Þetta er almenn lausn diffurjöfnunnar.
- Upphafsskilyrði eru notuð til að ákvarða k. Það gefur eina sérstaka lausn.
Síðan má nota formúlu sérstöku lausnarinnar til þess að svara því hvaða gildi y tekur fyrir öll gefin x á einhverju bili og teikna feril lausnarinnar.
Gallinn við þessa aðferð er sá að það er ekki víst að við getum fundið lausnarformúluna. Þá verðum við að snúa dæminu við og rekja einn lausnarferil án þess að leysa dæmið almennt:
- Upphafsskilyrðin segja til um það hvar lausnarferilinn byrjar.
- Diffurjafnan er notuð til að reikna næsta punkt á lausnarferlinum.
- Við færum okkur í nýja punktinn og reiknum næsta punkt, o.sv.frv.
Þessi aðferð hefur þann kost að við getum rakið lausnarferil allra diffurjafna nokkuð nákvæmlega án þess að leysa jöfnuna. Gallinn er sá að óhjákvæmilega verður einhver skekkja í lausninni og svo er lausnin takmörkuð við ein tiltekin upphafsskilyrði og við erum engu nær um almenna lausn diffurjöfnunnar. En betri er einn fugl í hendi en tveir í skógi!
Þessi seinni leið til að finna lausnarferil diffurjöfnu tilheyrir tölulegum aðferðum þar sem tölulegar lausnir byggðar á ákveðnum tölulegum forsendum koma í stað almennra lausna og algebrureikninga. Með tilkomu tölvanna hefur notagildi og mikilvægi tölulegra aðferða aukist mikið og þeim er beitt á öllum sviðum stærðfræðigreiningar. Fræðin um það heita töluleg greining og helsta vandamálið sem þar er glímt við eru uppsafnaðar skekkjur í talnareikningum með endanlegum fjölda aukastafa.
|
